通法解题一通到底——年潜江市中考数学第23题
金庸武侠小说《天龙八部》对于聚贤庄一战描述到：
乔峰见旁人退开，蓦地心念一动，呼的一拳打出，一招‘冲阵斩将’，也正是‘太祖长拳’中的招数。这一招姿势既潇洒大方已极，劲力更是刚中有柔，柔中有刚，武林高手毕生所盼望达到的拳术完美之境，便在这一招中表露无遗。来到这英雄宴中的人物，就算本身武功不是甚高，见识也必广博，‘太祖拳法’的精要所在，可说无人不知。乔峰一招打出，人人都情不自禁地喝了一声彩！”
太祖长拳，也可称为“大宋广播体操”，并不是什么秘笈，人人都会，然而能打出乔峰这种境界的一般无二。在几何解题方法中，也存在一种所谓通法，人人都会，老师都教过，但在具体解题过程中，能否用好，或者说是否真的领悟，还得看基本功。
题目
已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE和△BDF的面积之和为S.
(1)填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B=45°，m=5√2，则n=_________，S=________；
②如图2，若∠B=60°，m=4√3，则=_________，S=________；
(2)如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小.
解析：
(1)①梳理一下本小题的条件，Rt△ABC，CD是角平分线，∠B=45°，并且m=5√2；这些条件说明存在一个等腰Rt△ABC，CD是顶角平分线同时可推导它也是底边上的高和底边上的中线即“三线合一”，于是m=n=5√2，此时S=S△ADE+S△BDF=25；
②将上述等腰直角三角形改变为含30°角的直角三角形，牢记它的三边满足1:√3:2的数量关系，由m=4√3求出DE=2√3，AE=6，再由正方形DEFC得DF=2√3，在Rt△BDF中求得BF=2，BD=4，所以n=4，S=S△ADE+S△BDF=8√3；
(2)初步猜测：在(1)题的①②两个小题中，可猜想S=1/2mn，在猜想的基础上进行推导；
这个猜想结果十分类似三角形的面积计算公式，是否存在一个三角形，它的面积是S，底和高分别是m，n呢？
所以我们需要将△BDF和△ADE“拼”至一处，构造出一个新的三角形，这就需要用到全等三角形的方法了，本小题条件中∠EDF=90°，这意味着它的两边始终保持垂直，这给旋转变换提供了有利条件，所以我们分别过点D向AC，BC作垂线，如下图：
我们同样可得正方形DGCH，并且利用它来完成旋转变换，△DEG≌△DFH，所以DE=DF，并且可看作DF绕点D逆时针旋转90°得到DE，于是我们将△DBF也绕点D逆时针旋转90°，作DM⊥DB，如下图：
由辅助线条件，∠BDM=90°，于是∠BDF+∠MDF=90°，而∠MDE+∠MDF=90°，所以∠BDF=∠MDE，然后∠B+∠A=90°，∠DME+∠A=90°，所以∠B=∠DME，最后加上DF=DE，很容易证明△DBF≌△DME，现在我们将两个三角形“拼”到一处了，即△ADM，并且它是直角三角形，面积为1/2AD·DM，而AD=m，DM=DB=n，于是S=1/2mn；
(3)虽然条件变成了∠ACB=60°，∠EDF=°，但我们通过和前两个小题对比，发现存在一个共同点，即它们所处四边形DECF，对角互补，再加上CD依然是角平分线，所以有必要验证前面证明过的DE和DF是否依然相等，仍然过点D向两边AC，BC作垂线，如下图：
很容易证明△DEG≌△DFH，方法同前一小题，所以得到DE=DF，那么，我们可以基本用相同的方法来完成本小题的解答；
将BD绕点D逆时针旋转，作∠BDM=°，如下图：
前面已证明了DE=DF，在此基础上，四边形DEFC对角互补，可得∠DFC+∠DEC=°，而∠DFC+∠DFB=°，于是∠DEC=∠DFB，然后由∠EDM+∠MDF=°，∠FDB+∠MDF=°，得到∠EDM=∠FDB，现在可以证明△DME≌△DBF，成功将△BDF“拼”至△DEM处，顺便求得DM=DB=4，此时S=S△ADM，这个三角形有一个角∠ADM=60°，充分利用好这个特殊角来求面积，过点A向DM作垂线，如下图：
在Rt△ADN中，∠ADN=60°，AD=6，可求出AN=3√3，所以S=1/2DM·AN=6√3.
解题反思：
这是一道“汉味”很浓的几何压轴题，考查的就是学生对通性通法的掌握和理解，一法到底，变化的只是图形位置，图形间的联系基本上没有变，事实上在证明过程中，某些全等三角形连名称都不会变。
在平时教学中，我们教给学生的，都是数学解题基本功，并且练好这些基本功要花相当的时间，这其中最为关键的是“练好”，那么，什么状况才能称为练好了呢？这道题想必给出了很好的诠释，在第(1)题两个小题中，命题者很贴切地给出了点D向两边作的垂线，那么在解决第(2)，(3)小题的时候，到底有没有想到恢复这两条垂线？或者说能否想到结论DE=DF依然没变？解完题之后，是否又会感叹这不过是一次旋转全等？
角平分线的性质也好，旋转全等也罢，这些题目都出现在教材上，例题或习题中，多少有它们的身影，所以在教学中对于这类母题，一定要重视，分析条件的来龙去脉，把思路如何形成，可能遇到何种障碍讲清楚。
对于学生而言，学习数学，不能仅限于把题目答案做出来，虽然这很重要，但不是唯一，尤其是那些自己没想到，经过提示或老师讲解后才明白的题目，反思必不可少，可从以下几个方面反思：我为什么没想到？我的思路中断点在哪？老师提示或讲解时，哪句话让我的思路接续上了？以后这种题我该怎么想？……
老师和学生，都需要进行反思，分别从教和学两个方面，爱反思的老师和愿思考的学生，会真正实现教学相长。
